Bierbak XL
Opgave - PUMA 2010 vraag 1
Jan gaat op Erasmus en neemt uiteraard een grote bierbak mee, waar $6\times 8$ flesjes in passen. Jan wil $k$ flesjes in deze bierbak plaatsen, zodat op elke rij en elke kolom een even aantal flesjes staan. Bepaal alle getallen $k$ waarvoor dit mogelijk is.
Een flesje in een bierbak staat altijd op hoogstens één van de voorziene $48$ posities, op elk van de $48$ posities kan hoogstens één flesje staan. Flesjes mogen voor deze opgave niet worden gebroken, platgelegd, vervormd of opeengestapeld.
- login om te reageren
Oplossing
Voor $k$ oneven is dit duidelijk niet mogelijk: als het aantal op elke rij even is, dan moet het totale aantal zeker ook mogelijk zijn. Rest ons dus om te onderzoeken voor welke even waarden van $k$ dit mogelijk is. Als het voor $k$ flesjes mogelijk is, dan is het uiteraard ook voor $48-k$ flesjes mogelijk (door overal waar er een flesje stond nu geen te zetten en omgekeerd). Twee flesjes (en dus ook 46) kan duidelijk ook niet.
Alle andere waarden voor $k$ lukken wel: voor $4$ (en dus $44$) flesjes kan men een vierkant zetten, voor $6$ (en dus $42$) flesjes kan men deze confuratie zetten: $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline\bullet&\bullet&\\\hline\bullet&&\bullet\\\hline&\bullet&\bullet\\\hline\end{array}$$
Voor $8$ (en dus $40$) kan men twee vierkanten zetten, voor $10$ (en dus voor $38$) een vierkant en een kopie van bovenstaande, voor $12$ kan met drie vierkanten zetten, enzovoort. Voor $0$ en $48$ werken gewoon de lege en de volle bak, alles samen zijn de mogelijke waarden van $k$ dus $0$, $48$ en alle even getallen van $4$ tot en met $44$.