toernooi
Opgave - NWO 2001 vraag 1
In een toernooi speelt ieder team precies één keer tegen ieder ander team. Een gewonnen wedstrijd levert 3 punten op voor de winnaar en 0 voor de verliezer. Bij een gelijk spel krijgen beide teams elk 1 punt. Aan het eind van het toernooi blijkt dat alle teams samen 15 punten hebben behaald. Het laatste team op de eindlijst heeft precies 1 punt gescoord. Het op één na laatste team heeft geen wedstrijd verloren.
a) Hoeveel teams deden er mee aan het toernooi?
b) Hoeveel punten scoorde het team dat op de eindranglijst op de tweede plaats staat?
- login om te reageren
Oplossing
a)
Er zijn minnimaal $5$ (5 keer 3 punten) wedstrijden gespeeld en maximaal $7$ (6 keer 2 punten en 1 keer 3).
Aangezien alle teams 1 keer tegen elkaar spelen kunnen we de wedstrijden lijst zo samenvatten:
we proberen met 3 teams
$A - B$
$A - C$
$B - C$
=> maar 3 wedstrijden dus te weinig.
we proberen met 4 teams
$A - B$
$A - C$
$A - D$
$B - C$
$B - D$
$C - D$
=> 6 wedstrijden dus dit is mogelijk.
we proberen met 5 teams
$A - B$
$A - C$
$A - D$
$A - E$
$B - C$
$B - D$
$B - E$
$C - D$
$C - E$
$D - E$
=> 10 wedstrijden dus te veel.
Er zijn dus 4 teams, het is vrij logisch dat voor een groter aantal ploegen, het aantal wedstrijden vermeerderde en het aantal punten max $9$ is en min $20$ bij die $3$ en $5$ ploegen resp.
b)
We veronderstellen dat de eind ranglijst er zo uitzag:
1 A
2 B
3 C
4 D
D had 1 punt, dus het is verloren tegen A en B en gelijk gespeeld tegen C.
C is nooit verloren maar heeft wel minder punten dan B, dus C heeft enkel gelijk gespeeld.
De ranglijst ziet er dan zo uit (maar A en B hebben nog niet tegen elkaar gestaan):
___Score
1 A 3
2 B 3
3 C 3
4 D 1
A wint natuurlijk van B (anders zijn er 2 winnaars en zou er geen 2de plaats zijn, bij gelijkspel is het totaal aantal punten $14$ aangezien er $4$ keer gelijk gespeeld is en slechts $2$ keer gewonnen)
___Score
1 A 7
2 B 4
3 C 3
4 D 1
De som is 15, dus dit zijn de juiste scores.
Het team op de tweede plaats heeft een score van 4 punten.