knikkers
Opgave - NWO 1995 vraag 3
Je hebt 101 knikkers, genummerd van 1 tot 101. De knikkers zijn verdeeld over twee bakken $A$ en $B$. De knikker met nummer 40 zit in bak $A$. Je pakt deze knikker uit bak $A$ en gooit hem in bak $B$. Hierdoor stijgt de waarde van het gemiddelde van alle nummers in $A$ met één vierde. Ook de waarde van het gemiddelde van alle nummers in bak $B$ stijgt hierdoor met één vierde. Hoeveel knikkers zaten er oorspronkelijk in bak $A$?
- login om te reageren
Oplossing
Noem $a_1,a_2,...,a_n$ de elementen in doos $A$, $40$ niet meegerekend, en $b_1,b_2,...,b_{100-n}$ de elementen in doos $B$. Dan is
$\frac{\sum a_i+40}{n+1}=\frac{\sum a_i}{n}-\frac14$
$\Leftrightarrow n\sum a_i+40n=(n+1)\sum a_i-\frac{n^2+n}{4}$
$\Leftrightarrow \sum a_i=\frac{n^2+161n}{4}$. $(1)$
En
$\frac{\sum b_i+40}{101-n}-\frac14=\frac{\sum b_i}{100-n}$
$\Leftrightarrow \sum b_i=\frac{-n^2+41n+5900}{4}$. $(2)$
Door $(1)$ en $(2)$ op te tellen verkrijgen we
$5111=\sum a_i+\sum b_i=\frac{101n+2950}{2}$
zodat $n=72$ en er dus oorspronkelijk $73$ knikkers in bak $A$ zaten.