kangoeroesprongen
Opgave - NWO 1995 vraag 1
Een kangoeroe springt van roosterpunt naar roosterpunt in het $(x,y)-$vlak. Zij kan maar twee soorten sprongen maken. Sprong A: hierbij springt ze 1 naar rechts (in de positieve $x-$richting) en 3 omhoog (in de positieve $y-$richting). Sprong B: hierbij springt ze 2 naar links en 4 omlaag.
a) De startpositie van de kangoeroe is de oorsprong (0,0). Toon aan dat de kangoeroe naar het punt (19,95) kan springen en bereken het aantal sprongen dat ze daarvoor nodig heeft.
b) De startpositie is nu het punt (1,0). Toon aan dat ze het punt (19,95) nooit kan bereiken.
c) De startpositie van de kangoeroe is weer de oorsprong (0,0). Naar welke punten $(m,n)$ met $m,n\geq0$ kan de kangoeroe springen en naar welke kan zij dat niet?
- login om te reageren
Oplossing
a) zij $a$ het aantal keer de vector $(1,3)$ en b het aantal keer $(-2,-4)$
als we de vergelijkingen $a-2b=19$ en $3a-4b=95$ gelijktijdig oplossen zien we dat $a=57$ en $b=19$ Dus zijn er in totaal $76$ stappen nodig.
b) Doen we hetzelfde als in a) bekomen we dat $a=59$ maar $b=\frac{41}{2}$ dus dit kan niet.
c) Het stelsel $m=a-2b$ en $n=3a-4b$ oplossen naar $a$ en $b$ bekomen we
$a=n-2m$ en $b=\frac{n-3m}{2}$ Aangezien $a$ en $b$ niet negatief kunnen zijn moet
$n \geq 3m$ Verder moet $n-3m$ even zijn, dit gebeurt enkel als $n$ en $m$ tegelijk even of oneven zijn.