passende rechthoeken

De hoek die de kleinste rechthoek met de grootste rechthoek maakt noemen we $\alpha$
de breedte van het kleinste rechtkoek noemen we $x$

De kleinste rechthoek deelt de grootste in $4$ rechte driehoeken.
De basissen van de twee onderste driehoeken geven samen de lengte van de grote rechthoek, nl. $1$ :

$\cos \alpha + \cos (90^{\circ} - \alpha) * x = 1 $

$x = \frac {1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$

De hoogtes van de 2 rechterdriehoeken geven samen de hoogte van de grote rechthoek, nl. $1-x$

$\sin \alpha + \sin (90^{\circ} - \alpha) * x = 1 - x $

$ x = \frac {1 - \sin \alpha}{\cos \alpha + 1}$

We combineren deze 2 gelijkheden tot:

$\frac{1- \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1-\sin \alpha}{\cos \alpha +1}$

$(1- \cos \alpha)(\ cos \alpha +1) = \sin \alpha (1 - \sin \alpha)$

$\sin^{2} \alpha = \sin \alpha - \sin^{2} \alpha$

$0=\sin \alpha - 2\sin^{2} \alpha$

$(\sin \alpha)(1-2\sin \alpha) = 0$

$ \sin \alpha = 0$ V $\sin \alpha =\frac{1}{2} $

$ \alpha = 0^{\circ}& / &180^{\circ}$ V $\alpha = 30^{\circ}&/&150^{\circ}$

$\alpha$ mag niet $0^{\circ}/180^{\circ}$ zijn want dan zouden de rechthoeken even groot zijn, we gaan verder met de 2de optie:

$ x = \frac{1-\cos 30^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = 2-\sqrt{3} $ EN $ x= \frac{1-\cos 150^{\circ}}{\sin 150^{\circ}} = 2 + \sqrt{3}$

$2+\sqrt{3}$ kan niet want dat is groter dan $1$ , de enige oplossing voor $x$ is $2-\sqrt{3}$ dat werkt na een simpele controle.