USAMO 1975

Vraag 1 Opgelost!

Als $x,y>0$, bewijs dan dat
$$\lfloor5x\rfloor+\lfloor5y\rfloor\geq\lfloor3x+y\rfloor+\lfloor3y +x\rfloor.$$
Toon ook aan dat
$$\frac{(5a)!(5b)!}{a!b!(3a+b)!(3b+a)!}$$
een natuurlijk getal is voor alle $a,b\in\mathbb N$.

Vraag 2

Toon aan dat in een viervlak de som van de kwadraten van de lengtes van twee tegenoverliggende zijden maximum de som van de kwadraten van de andere vier zijden is.

Vraag 3

Toon aan dat in een viervlak de som van de kwadraten van de lengtes van twee tegenoverliggende zijden maximum de som van de kwadraten van de andere vier zijden is.

Vraag 4

Twee cirkels snijden in twee punten, waarvan we één $X$ noemen. Vind een punt $Y$ op één van de cirkel en een punt $Z$ op de andere, zodanig dat $X,Y,Z$ collineair zijn en $|XY|.|YZ|$ maximaal is.

Vraag 5

Een deck van $n$ kaarten, inclusief drie azen, wordt goed geschud. De kaarten worden één voor één omgedraaid. Toon aan dat het verwachte aantal kaarten dat moet worden omgedraaid om de tweede aas te bereiken $\displaystyle\frac{n+1}2$ is.