Putnam 2003

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

ZIj $n \in \mathbb{N}$, hoeveel manieren zijn er om $n$ te schrijven als de som van natuurlijke getallen $(a_i)$ zodat
$n = a_1 + a_2 + \cdots a_k$
met $a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_k \le a_1 + 1$ ?
vb. voor $n = 4$: $4$, $2 + 2$, $1 + 1 + 2$, $1 + 1 + 1 + 1$.

Dag 2

Vraag 1

Bestaan er 4 polynomen $a,b,c,d$ zodat $ 1+xy+x^2y^2= a(x)c(y)+b(x)d(y) $?

Vraag 3

Bewijs dat voor elk natuurlijk getal $n$ geldt dat $n!=\prod_{i=1}^n \; \text{kgv} \; \big(1, 2, \ldots, \left\lfloor \frac{n}{i} \right\rfloor\big)$