CGMO 2012

Dag 1

Vraag 3

Vind alle paren $a,b$ zodat er een getal $d \ge 2$ bestaat dat een deler is van $a^n+b^n+1$ voor alle $n \in \{1,2,3,\cdots \}.$

Vraag 4

We hebben een regelmatige $13$hoek waarvan iedere hoek rood of wit werd gekleurd.
Bewijs dat je door de kleuren van $2$ hoeken te wisselen, kunt maken dat de kleuren symmetrisch zijn tov een as v.d. $13$hoek.

Dag 2

Vraag 2

In een land met $n$ grote steden en $2$ luchtvaartmaatschappijen, is ieder paar steden verbonden met een heen- en weervlucht georganiseerd door $1$ maatschappij.
Men wil een ritje maken, zodat men enkele steden $(\ge 2)$ exact een keer bezoekt en terug eindigt in het startpunt. Het blijkt dat hiervoor bij beide maatschappijen tickets gekocht moeten worden gekocht. Wat is de maximale $n$ die mogelijk is?

Vraag 4

Vind het aantal $k \in \{0, 1, 2,\cdots, 2012\}$ zodat $2012$ een deler is van ${2012} \choose{k} .$