CGMO 2002

Dag 1

Vraag 1

Vind alle $n \in \mathbb N$ zodat $20n+2|2003n+2002$

Vraag 3

Vind alle $k \in \mathbb N$ zodat als geldt dat $k(ab+bc+ca) > 5(a^{2}+b^{2}+c^{2})$ voor $a,c,b>0$, dat dan geldt dat $a,b,c$ de zijden van een driehoek kunnen zijn.

Dag 2

Vraag 1

$ P_{1}, P_{2},\ldots, P_{n} $ is een permutatie van $ \{1,\ldots,n\}. $
Bewijs dat $\sum^{n-1}_{i=1}\frac{1}{P_{i}+P_{i+1}}>\frac{n-1}{n+2}.$

Vraag 3

In een driehoek $\triangle ABC$ geldt dat $AD,BE,CF$ de drie hoogtelijnen zijn.
Bewijs dat de omtrek van $\triangle DEF$ $\le$ is dan de helft van de omtrek van $\triangle ABC.$