algebra 1

De conditie $abc = 1$ inspireert ons om $a = \frac{x}{y}$, $b = \frac{y}{z}$ en $c = \frac{z}{x}$ te substitueren met $x, y, z \in \mathbb R^+$. Als we dat doen krijgen we $$(\frac{x}{y} - 1 + \frac{z}{y})(\frac{y}{z} - 1 + \frac{x}{z})(\frac{z}{x} - 1 + \frac{y}{x}) \leq 1$$
ofwel $$(\frac{x-y+z}{y})(\frac{x+y-z}{z})(\frac{-x+y+z}{x})\leq 1$$
uit dit volgt $$(x-y+z)(x+y-z)(-x+y+z)\leq xyz$$
We werken de linkerkant uit en krijgen
$$-x^3 - y^3 - z^3 - 2xyz + xy^2 + xz^2 + x^2z + x^2y + y^2z + yz^2 \leq xyz $$ herschrijven geeft $$xy^2 + xz^2 + x^2z + x^2y + y^2z + yz^2 \leq x^3 + y^3 + z^3 + 3xyz$$ En dat is precies Schurs ongelijkheid en dus we zijn klaar.