speciale verzameling

Opgave - IrMO 2000 dag 1 vraag 1

Zij $S$ de verzameling van alle getallen van de vorm $n^2+n+1$. Toon aan dat het product van $n^2+n+1$ en $(n+1)^2+(n+1)+1$ ook een element is van $S$, maar geef een voorbeeld van $a,b\in S$ en $ab\notin S$.

Oplossing

Ok. Schrijf $a_n = n^2+n+1$. Dan is $$\begin{aligned} a_na_{n+1} & = \left(n^2+n+1\right)\left(n^2+3n+3\right) = \left(n^2+2n+2\right)^2-\left(n+1\right)^2 \\ & = \left(\left(n+1\right)^2+1\right)^2-\left(n+1\right)^2 = \left(n+1\right)^4+\left(n+1\right)^2+1 = a_{(n+1)^2}\in S\end{aligned}$$Voor het tweede deel van de vraag twijfel ik. Wordt er bedoeld dat $n\in\mathbb{N}$ of $n\in\mathbb{R}$?

Als $n\in\mathbb{N}$, dan merken we op dat $a_1a_3 = 39\not\in S$, want anders zou er een $n\in\mathbb{N}$ bestaan zodanig dat $n^2+n+1 = 39$. (Hetgeen niet waar is hoor!)

Als $n\in\mathbb{R}$, dan merken we op dat $a_{\frac{-1}{2}}a_{\frac{-1}{2}} = \frac{9}{16} < \frac{3}{4}$. Maar voor iedere $a_n$ geldt er $$a_n = n^2+n+1 = \left(n+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\geq\frac{3}{4},$$dus $a_{\frac{-1}{2}}^2\not\in S$.