natuurlijke functie
Opgave - IrMO 1999 dag 3 vraag 1
De functie $f\mathbb N\rightarrow\mathbb N$ heeft de eigenschap dat $f(mn)=f(m)f(n)$ als $m$ en $n$ onderling ondeelbaar zijn en $f(p+q)=f(p)+f(q)$ voor alle priemgetallen $p,q$. Toon aan dat $f(2)=2,f(3)=3$ en $f(1999)=1999$.
- login om te reageren
Oplossing
Aangezien geldt dat $f(6)$ zowel gelijk is aan $2f(3)$ als aan $f(2)f(3)$ geldt dat $f(2)=2$.
[ $f(3) \not = 0$ ]
Nu geldt ook dat $f(12)=f(3)f(4)=f(5)+f(7)$ Nu is $f(4)=f(2)+f(2)=4$ en $f(5)=f(2)+f(3)=f(3)+2$ en $f(7)=f(5)+f(2)=f(3)+4$.
Dit vullen we in en dan bekomen we $2f(3)=6$ dus $f(3)=3$.
Merk nu op dat $f(k)=k$ voor $k \in \{2,3,4,5,6,7\}$ .
Vervolgens is $f(9)=f(7+2)=9, f(18)=f(9*2)=18$ en dus
$f(11)=f(18)-f(7)=11$ en zo ook $f(13)=f(18)-f(5)=13.$
Uit de eerste eigenschap (3 keer toepassen) leiden we af dat $f(2002)=f(2)f(7)f(11)f(13)=2002$ en omdat ook $f(1999)+f(3)=f(2002)$ is $f(1999)=2002-3=1999$