grafisch probleem

Opgave - IrMO 1995 dag 3 vraag 2

$S$ is het vierkant $\{(x,y)|0\leq x,y\leq1\}$. Voor iedere $0

Oplossing

Er geldt:
$(x,y)\in \bigcap_{t\in]0,1[}C_{t}\Leftrightarrow\forall t\in]0,1[ \frac{x}{t}+\frac{y}{1-t}\geq 1$
We zullen nu de waarde van t zoeken waarvoor deze uitdrukking minimaal is. Er geldt dan dat de uitdrukking groter is voor alle waarden van $t\in]0,1[$ als en slechts als deze groter is voor de minimale waarde van t. Om de minimale waarde van t te vinden zullen we de uitdrukking afleiden:
$\frac{d}{dt}\left(\frac{x}{t}+\frac{y}{1-t}\right)=-\frac{x}{t^{2}}+\frac{y}{(1-t)^{2})}=0\Leftrightarrow \frac{x}{t^{2}}=\frac{y}{(1-t)^{2}}\Leftrightarrow t=\frac{1}{1\pm\sqrt{\frac{y}{x}}}$
Maar $\frac{1}{1-\sqrt{\frac{y}{x}}} \geq1\notin ]0,1[$ De enige extreme waarde voor t in het interval ]0,1[ is dus: $t=\frac{1}{1+\sqrt{\frac{y}{x}}}$. Omdat de uitdrukking naar oneindig gaat als t naar 0 of 1 gaat en de functie continu diferentieerbaar is in ]0,1[, zal deze waarde voor t een minimum zijn. Er geldt dus:
$(x,y)\in \bigcap_{t\in]0,1[}C_{t}\Leftrightarrow \frac{x}{t'}+\frac{y}{1-t'}\geq 1$ met $t'=\frac{1}{1+\sqrt{\frac{y}{x}}}$
Als we deze waarde van t nu invullen krijgen we:
$ \frac{x}{t'}+\frac{y}{1-t'}=x\left(1+\sqrt{\frac{y}{x}}\right)+\sqrt{xy}\left(1+\sqrt{\frac{y}{x}}\right)=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}$
en dus:
$\forall t\in]0,1[ \frac{x}{t}+\frac{y}{1-t}\geq 1\Leftrightarrow\frac{x}{t'}+\frac{y}{1-t'}\geq1\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}\geq1\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}\geq1$