vergelijkingen

Opgave - IrMO 1993 dag 1 vraag 1

De reële getallen $x,y$ voldoen aan $x^3-3x^2+5x-17=0$ en $y^3-3y^2+5y+11=0$. Vind $x+y$.

Oplossing

Zij $f(X) = X^3 - 3X^2 + 5X - 17$ en $g(X) = X^3 - 3X^2 + 5X + 11$. Reken na dat $f(X) = g(2-X)$ en dat $f$ en $g$ precies één reële wortel hebben (de afgeleide is $3X^2 - 6X + 5 = 3(X-2)^2 + 2$ en heeft dus geen reële nulpunten). Dus, als $\alpha$ de reële wortel van $f$ is, dan is $0 = f(\alpha) = g(2-\alpha)$ met $2-\alpha\in\mathbb{R}$, dus dan is $2-\alpha$ de reële wortel van $g$. Er volgt dat $x+y = 2$.