ongelijkheid
Opgave - CanMO 2005 vraag 2
Zij $a,b,c$ drie natuurlijke getallen verschillend van 0 zodat $a^2+b^2=c^2$.
(a) Bewijs dat $(c/a+c/b)^2>8$.
(b) Bewijs dat we geen natuurlijk getal $n$ kunnen vinden waarvoor we een drietal $(a,b,c)$ kunnen vinden zodat $(c/a+c/b)^2=n$.
- login om te reageren
Oplossing
(a) Schrijf $\frac{a}{c} = \sin\alpha$ en $\frac{b}{c} = \cos\alpha$ voor een zekere $\alpha$. Dan willen we bewijzen dat $0 > 2\sin^2(2\alpha)-\sin(2\alpha)-1$. Dit is waar als $\frac{-1}{2} < \sin(2\alpha) < 1$. De ondergrens is vanzelfsprekend voldaan, daar $\sin(2\alpha) = \frac{2ab}{c^2} > 0$. Voor de bovengrens moeten we enkel nog oppassen voor het geval $1 = \sin(2\alpha) = \frac{2ab}{c^2}$. Maar dan zou $c^2 = 2ab$, dus $0 = a^2+b^2-c^2 = (a-b)^2$, i.e. $a=b$ en dus $2a^2 = c^2$, waardoor $(a,c)\in\mathbb{N}^2$ onmogelijk zou zijn. Klaar.
(b) Stel dat er wel zulk 'n $n$ bestaat. Omdat $\sqrt{n} = \frac{c}{a}+\frac{c}{b} \in\mathbb{Q}$, moet $n$ een volkomen kwadraat zijn, i.e. $n = m^2$ voor een zekere $m\in\mathbb{N}$. De vraag is dus of $\frac{c}{a}+\frac{c}{b}$ ooit een natuurlijk getal kan zijn. We mogen duidelijk veronderstellen dat $\gcd(a,c) = \gcd(b,c) = 1$. Maar $c^2 = a^2+b^2$, dus is ook $\gcd(a,b) = 1$. Er moet nu gelden dat $ab | c(a+b)$. Maar $\gcd(a+b,a) = \gcd(b,a) = 1 = \gcd(a+b,b)$, dus moet $ab | c$. Maar $\gcd(a,c) = \gcd(b,c) = 1$, dus dit is onmogelijk.
Voor $a)$ een meer intuïtief bewijs misschien:
\[(\frac{c}{a} + \frac{c}{b})^2 = c^2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})^2 > 8\]
of
\[(a^2+b^2)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})^2 > 8\]
of
\[(a^2+b^2)(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab}) > 8\]
Wegens Cauchy hebben we dat
\[(a^2+b^2)(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}) \geq 4\]
en door nog eens cauchy toe te passen krijgen we
\[(a^2+b^2)(\frac{2}{ab}) = (a^2+b^2)(\frac{1}{ab} + \frac{1}{ab}) \geq (\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}})^2)\]
en
\[ (\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}})^2) \geq 2^2 = 4\]
wegens AM-GM. De twee ongelijkheden combineren geeft het gevraagde resultaat. Voor beide ongelijkheden hebben we gelijkheid voor $a=b$, maar merk op dat $a^2+b^2 = 2a^2 = c^2$ geen oplossing heeft want $\sqrt{2}$ is geen rationaal ($=\frac{c}{a})$ getal. Dit impliceert dat de ongelijkheid strikt is.
Voor $b)$ is mijn oplossing gelijkend op die van C|Debry.