diophantische vergelijking

Het is JBMO en het was vraag 1, I know. Maar 'k vond 'm leuk :grin:

Schrijf $x+y=a$ en $xy=b$. De vergelijking is equivalent $$9\left(a^2-2b+1\right)+2(3b+2) = 2005\ \Longleftrightarrow\ 3a^2-4b = 664.$$Nu zijn er twee opmerkingen.

Enerzijds beschouwen we deze nieuwe vergelijking modulo 4 om te vinden dat $a$ even is. Schrijf dus $a=2k$ met $k\in\mathbb{N}$. De vergelijking wordt nu dus $3k^2-b=166$ en dus $b=3k^2-166$. Maar $b\in\mathbb{N}$, dus moet $3k^2-166=b \geq 0$, i.e. $k>7$.

Anderzijds geldt er volgens AM-GM dat $a^2 \geq 4b$, dus $664 = 3a^2-4b \geq 2a^2$, i.e. $a<19$.

We hebben dus dat $k>7$ en $a<19$, dus $a\leq 18$, dus $k\leq 9$. Bijgevolg kan enkel $k=8$ en $k=9$.

Als $k=8$, dan moet $a=16$ en $b=3k^2-166=26$. Maar dat betekent dat van $x$ en $y$ er precies eentje even is (anders zou $26=b\equiv 0\mod{4}$ als ze beiden even zouden zijn en $26=b\equiv 1,3\mod{4}$ als ze beiden oneven zouden zijn). Bijgevolg zijn $x$ en $y$ paritair verschillend en is $16=a=x+y$ oneven. Contradictie.

Als $k=9$, dan moet $a=18$ en $b=3k^2-166 = 77$. Stel eventjes WLOG $x\leq y$. Dan moet $xy=b=77$ en dus $(x,y)=(1,77)$ of $(x,y)=(7,11)$. Enkel het tweede geval voldoet aan $a=x+y=18$.

De oplossingsverzameling is dus $$(x,y) \in\left\{(7,11),(11,7)\right\}$$[/]

[/]

[/]

[/]