omgeschreven cirkels
Opgave - JBaMO 2003 vraag 3
Zij $D,E,F$ de middens van de bogen $BC,CA,AB$ op de omgeschreven cirkel van driehoek $ABC$ zonder de punten $A,B,C$ respectievelijk. De rechte $DE$ snijdt de rechte $BC$ in $G$ en de rechte $CA$ in $H$. $M$ is het midden van $GH$. De rechte $FD$ snijdt $BC$ in $K$ en $AB$ in $J$. $N$ is het midden van $KJ$.
(a) Vind de hoeken van de driehoek $DMN$.
(b) Bewijs dat als $P$ het snijpunt is van de rechten $AD$ en $EF$, dat het centrum van de omgeschreven cirkel van $DMN$ op de omgeschreven cirkel van $PMN$ ligt.
- login om te reageren
Oplossing
OK dan, hier is mijn oplossing:
Kijk op de tekening voor de benoeming van de punten. M' en N' zijn de loodrechte projecties van M en N respectievelijk. Klik hier
a) $\angle KJB = \angle DFB + \angle FBJ = \frac{\angle A + \angle C}{2}$. Wat rekenwerk levert dat ook $\angle JKB = \frac{\angle A + \angle C}{2}$. Analoog tonen we aan dat $\Delta KJB, \Delta ARQ, \Delta CHG$ allen gelijkbenig zijn.
Er geldt dat $$N'N=\sin{\frac{B}{2}}NB=\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}DB=\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}DC=\sin{\frac{C}{2}}CM=M'M$$
Bijgevolg zijn MN en CB evenwijdig.
Dus is het antwoord: $$\angle EDF = \frac{B+C}{2}$$
$$\angle DMN = \frac{A+B}{2}$$
$$\angle DNM = \frac{A+C}{2}$$
b) Zij Z het middelpunt van de omschreven cirkel van $\Delta DMN$. Er geldt dat $\angle MZN=\angle B + \angle C=\pi - \angle A$
Bijgevolg zijn de hoeken $\angle MPN$ en $\angle MZN$ supplementair, en liggen ze op 1 cirkel.