convexe 1415-hoek

Opgave - JBaMO 2001 vraag 4

Zij $N$ een convexe 1415-hoek met omtrek 2001. Bewijs dat we drie hoekpunten kunnen nemen van $N$ die een driehoek vormen met oppervlakte kleiner dan 1.

Oplossing

Merk eerst op dat $\dfrac{2001}{1415}<\sqrt{2}$. Zo is er zeker $1$ zijde met lengte kleiner dan $\sqrt{2}$: $|z_1|=\sqrt{2}-\epsilon$. Bekijk de zijde die ernaast ligt in wijzerzin. Opdat deze 3 punten (dus van $z_1$ en het extra punt van die andere zijde $z_{1}^*$) geen driehoek zouden vormen met oppervlakte 1, moet het product van die zijden groter zijn dan 2 (oppervlakte wordt immers gegeven door $\frac{ab\sin\hat{ab}}{2}\leq\frac{ab}{2}$), zodat $|z_{1}^*|=\sqrt{2}+\epsilon^*$ met $\epsilon^*>\epsilon$, want anders is de oppervlakte kleiner. Daardoor moet er nog een zijde zijn met lengte kleiner dan $\sqrt{2}$, zelfde redenering helemaal door, zodat we in het beste geval telkens zijden hebben die resp. korter langer korter langer korter... zijn dan $\sqrt{2}$, zodat de laatste zijde (we zitten met een oneven aantal zijden) KORTER is dan $\sqrt{2}$. Tesamen met de zijde die ernaast ligt in wijzerzin vormt dit een driehoek met oppervlakte kleiner dan 1.