vreemde ongelijkheid

Opgave - BaMO 2001 vraag 3

Zij $a,b,c$ positieve reële getallen zodat $a+b+c\geq abc$. Bewijs dat
$$a^2+b^2+c^2\geq\sqrt3abc.$$

Oplossing

Een keten aan welgekende ongelijkheden: $$\begin{aligned} \left(a^2+b^2+c^2\right)^2 & \geq \left(ab+bc+ca\right)^2 \geq 3\left((ab)(bc)+(bc)(ca)+(ca)(ab)\right) \\ & = 3abc(a+b+c) \geq 3(abc)^2.\end{aligned}$$