functievergelijking

Zij $P(x,y)$ de gelijkheid $f(xf(x)+f(y))=(f(x))^2+y$ ingevuld voor de keuzes van $x,y.$

$P(0,y)$ geeft $f(f(y)) = (f(0))^2 + y$.
Bijgevolg betekent $f(y)=f(y')$ dat $y=y'$ en $y=c-f^2(0)$ geeft $f(f(y))=c$ voor elke $c$.
De functie is dus zowel injectief als surjectief.

Dit betekent dat er een $\alpha$ bestaat zodanig dat $f(\alpha) = 0$.
We verkrijgen dat
$P(\alpha,y) \colon f(f(y)) = y$
$P(0,y) \colon f(f(y)) = (f(0))^2 + y$
dus $f(0)^2 = 0 \Rightarrow f(0) = 0$.

Merk vervolgens op dat
$P(x,0) \colon f(xf(x)) = (f(x))^2$.
$P(f(x),0) \colon f(xf(x)) = (f(f(x))^2 = x^2.$
Bijgevolg is $f(x) = \pm x$ voor elke $x.$

Veronderstel dat er $a,b \not =0$ bestaan zodat $f(a) = -a$ en $f(b) = b$.
$P(a,b) \colon f(-a^2 + b) = a^2 + b$ betekent dan dat $-a^2 + b =\pm (a^2+b)$ wat niet kan daar $a,b \not=0.$

Bijgevolg is $f(x) = x \hspace{0.25cm} \forall x \in \mathbb{R}$ of $f(x) = -x \hspace{0.25cm}\forall x \in \mathbb{R}$.