ongelijkheid

Wlog $a \ge b \ge c$ en $e \ge d$.
De eerste voorwaarde kwadrateren en de tweede aftrekken, geeft dat $$e^2d^2=a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2.$$
Hieruit halen we samen met de eerste voorwaarde dat $$(a^2-e^2)(a^2-d^2)=b^2c^2$$ en twee analoge voorwaarden.
Dit betekent dat wanneer $a,b,c,d,e$ in volgorde worden gezet, $e$ en $d$ net na elkaar komen.
Aangezien $e,d>a$ duidelijk onmogelijk is net zoals $b>e,d$ geldt dat $$a> e \ge d >b \ge c.$$

Aangezien de $3$ ongelijkheden homogeen zijn, mogen we veronderstellen dat $d=1$.

Claim: De functie $f(x)=a^x+b^x+c^x-e^x-1$ is nu convex over heel $[1,+\infty[$.

Er geldt dat $f"(x)=ln^2(a)a^x+ln^2(b)b^x+ln^2(x)c^x-ln^2(e)e^x +a^{x-1}+b^{x-1}+c^{x-1}-e^{x-1}$.
Voor $x \ge 1$ geldt nu dat $ln^2(a)a^x>ln^2(e)e^x$ en $a^{x-1}\ge e^{x-1}$.

Omdat $f(2)=f(4)=0$ betekent dit dat $f(3)<0$ en dus $a^3+b^3+c^3$<$e^3+d^3$.