EGMO Q3

Een oneindige rij van (strikt) positieve gehele getallen $a_1, a_2, \dots$ wordt "mooi" genoemd als aan de volgende twee voorwaarden wordt voldaan:

(1) $a_1$ is een kwadraat van een geheel getal, en
(2) voor elk geheel getal $n \ge 2$ is $a_n$ het kleinste (strikt) positieve gehele getal zodat

$$na_1 + (n-1)a_2 + \dots + 2a_{n-1} + a_n$$
​
een kwadraat is van een geheel getal.

Bewijs dat voor elk "mooi" rijtje $a_1, a_2, \dots$ er een (strikt) positief geheel getal $k$ bestaat zodat $a_n = a_k$ voor alle gehele getallen $n \ge k$.