if it is easy, do it at least elegant

Opgave - IMO 2020 dag 1 vraag 2

Gegeven zijn reele getallen $a\ge b \ge c \ge d > 0$ die voldoen aan $a+b+c+d=1.$
Bewijs dat $(a+2b+3c+4d)a^a b^b c^c d^d <1.$

Oplossing

Wegens Weighted AM-GM geldt er dat
\[\frac{a\cdot a + b \cdot b + c \cdot c + d \cdot d}{a+b+c+d} \geq \sqrt[a+b+c+d]{a^ab^bc^cd^d}\]
en aangezien $a+b+c+d=1$ hoeven we alleen te bewijzen dat
\[(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2) < 1\]
Dit is equivalent met bewijzen dat
\[(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2) < (a+b+c+d)^3\]
Het linkerlid kan geschreven worden als
$(a+2b+3c+4d)\sum_{}^{}a^2$
Het rechterlid kan geschreven worden als $(\sum_{cyc}^{}(a+3b+3c+3d)(a^2)) + 6abc+6abd+6acd+6bcd$
en aangezien $a+2b+3c+4d \leq a+3b+3c+3d$, is het voldoende in te zien dat
$$(a+3b+3c+3d)(a^2+b^2+c^2+d^2)\le \sum_{cyc}(a+3b+3c+3d)(a^2).$$
Dat laatste is equivalent met $b^2(a-b)+c^2(a-c)+d^2(a-d) \ge 0.$