f(APMO_15_2)
Opgave - APMO 2015 dag 1 vraag 2
Zij$S = \{2, 3, 4, \ldots\}$ de verzameling gehele getallen groter of gelijk aan $2$. Bestaat er een functie $f \colon S \to S$ zodat \[f (a)f (b) = f (a^2 b^2 )\text{ voor alle }a, b \in S\text{ waarvoor }a \ne b?\]
- login om te reageren
Oplossing
Het antwoord is neen.
Merk op dat
$f(2)f(4)f(2)=f(2)f(8^2)=f(128^2)$
en
$f(2)f(2)f(4)=f(4^2)f(4)=f(64^2).$
Bijgevolg geldt voor elke $2\le m \le 6$ dat
$f(2^m)f(2^{7-m})=f(128^2)=f(64^2)=f(2^{m-1})f(2^{7-m}).$
Dat betekent dat $f(2)=f(4)=f(64)$, maar daar $f(2)f(4)=f(64)$ concluderen we dat $f(2)^{2}=f(2)$,maar dit kan enkel als $f(2)$ gelijk is aan 0 of 1. Die waarden behoren niet tot S en dus is er geen oplossing.