De laatste Vlaamse inzending van de drie op een rij

Zij $m,n,p$ positieve, reëe getallen waarvoor geldt dat $mnp=8$. Afhankelijk van deze constanten, vind het minimum van
$$ x^2+y^2+z^2+mxy+nxz+pyz,$$
waarbij $x,y,z$ willekeurige, positieve, reëe getallen zijn zodat $xyz=8$.
Wanneer is er gelijkheid?

Los dit probleem op voor

*$m=n=p=2$,
* willekeurige, vaste, positieve, reële getallen $m,n,p$.