functievergelijkheid met ongelijkheid
Opgave - EMC 2017 dag 1 vraag 1
Vind alle functies $f \colon \mathbb N \to \mathbb N$ zodat de ongelijkheid
$$ f(x) + yf(f(x)) \le x(1 + f(y)) $$
geldt voor alle $x,y \in \mathbb N$.
Hier is $\mathbb N$ de verzameling van strikt positieve gehele getallen $\{1,2,3,4\ldots\}$ (internationaal is $0$ geen natuurlijk getal).
- login om te reageren
Oplossing
We vullen $x=y=1$ in:
\begin{align*}
& f(1)+f(f(1))\leq 1+f(1)\\
\Rightarrow & f(f(1))\leq 1\\
\Rightarrow & f(f(1))=1
\end{align*}
Nu nemen we $x=1$ en passen dan $f(1)\geq 1$:
\begin{align*}
& f(1)+y\leq 1+f(y)\\
\Rightarrow & f(y)\geq y \qquad\qquad (1)
\end{align*}
Nu nemen we $x=1$ en $y=f(1)$.
\begin{align*}
& f(1)+f(1)f(f(1))\leq 1+f(f(1))\\
\Rightarrow & 2f(1)\leq 2\\
\Rightarrow & f(1)\leq 1\\
\Rightarrow & f(1)= 1
\end{align*}
Nu vullen we $y=1$ en passen dan (1) toe op $f(x)$, wat $f(x)\leq f(f(x))$ geeft:
\begin{align*}
& f(x)+f(f(x))\leq x(1+f(1))\\
\Rightarrow & 2f(x)\leq 2x\\
\Rightarrow & f(x)\leq x
\end{align*}
Samen met (1) geeft dit $f(x)=x$, wat inderdaad een oplossing is.