f: A2 -> Duitse TST

Noem $P(x,y)$ de substitutie in $f(x-f(y)) = f(f(x)) - f(y) - 1$

Fixeer $x$ en de substitutie $P(x,f(x))$ geeft
$f(x-f(f(x)) = -1 \Rightarrow \exists c \colon f(c) = -1$

$P(x,c)$ geeft
$f(x+1) = f(f(x))$

Vervang nu $x \rightarrow (f(x)-1)$ en we krijgen $ f(f(x)) = f(f(f(x)-1))$ wat samen met bovenstaande betekent dat $f(x+1) =f(f(f(x)-1))$

Nu geeft $P(f(x)-1,x)$ dat
$f(-1) = f(f(f(x)-1)) - f(x) - 1 = f(x+1) - f(x) - 1$
$\rightarrow f(x+1) - f(x) = 1 + f(-1)$

Aangezien $f\colon \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ halen we eenvoudig dat $f$ lineair of constant is (per inductie bvb.), dit geeft de oplossingen:

$f(x) = x+1$ of $f(x) = -1$

en na controle kloppen deze.