Dennis heeft zijn werk gedaan

$x=y=0$ geeft $f(f(0))^2+2f(0)^2=f(0)+2f(0)f(f(0)) \Rightarrow f(0)-f(0)^2=(f(f(0))-f(0))^2 \ge 0$. Hieruit volgt dat $0 \le f(0) \le 1$. Omdat $f(0) \in \mathbb{Z}$, zal dus $f(0)=0$ of $f(0)=1$ Merk in beide gevallen op dat zal gelden dat $(f(f(0))-f(0))^2=0$, dus $f(f(0))=f(0)$. We maken een gevalsonderscheid:

1: Zij $f(0)=0$. Vul $y=0$ in. Je krijgt $f(-x)^2+f(x)^2=0$. Omdat kwadraten positief zijn, kan dit enkel als $f(x)=f(-x)=0$. Dus $f \equiv 0$. Deze functie vormt ook een oplossing: $0^2+0^2+0^2=0$.

2: Zij $f(0)=1$. Vul $y=0$ in. Je krijgt $f(1-x)^2+f(x)^2+1=3 \Rightarrow f(1-x)^2+f(x)^2=2$. Omdat $f(x) \in \mathbb{Z}$, kan dit enkel als $f(x)^2=1$. Dus $f(x)= \pm 1$. Stel nu dat er een zekere $a$ bestaat zodat $f(a)=-1$. Zij $y=a$. dan weten we dat $3=-(1+2f(f(a)))$. Dus $f(f(a))=-2$. Maar dit is onmogelijk! Dus $f \equiv 1$. Ook deze functie voldoet: $1^2+1^2+1^2=1 (1+2)$. Q.E.D.