functievgl

Noteer met $P(x,y)$ de functievergelijking in $x$ en $y$.

Beschouw $P(0,0)$. Je krijgt $f(f(0))+f(0)=f(0) \Leftrightarrow f(f(0))=0$.

Beschouw nu $P(0,f(0))$. Je krijgt $f(f(f(0)))+f(0)=0+f(f(0))+f(0)^2 \Leftrightarrow 2 f(0)=f(0)^2 \Leftrightarrow f(0)=0 \vee f(0)=2$.

(1) Zij $f(0)=2$. Merk op dat, omdat $f(f(0))=0$, volgt dat $f(2)=0$. Beschouw $P(1,1)$. Je krijgt $f(1)+f(1)=f(1)+1$, waaruit volgt dat $f(1)=1$.

Zij $x=0$, je krijgt $f(f(y))=2y+f(y)-2$.

Laten we alle $a$ zoeken zodat $f(a)=a$. Invullen in de vorige gelijkheid geeft $a=3a-2$, zodat $a=1$, en aangezien $f(1)=1$, voldoet het punt ook.

Zij $y=1$. Je krijgt $f(x+f(x+1)=x+f(x+1)$, waaruit volgt dat $x+f(x+1)=1$, zodat $f(x)=2-x$. De functie voldoet ook, aangezien $f(x+f(x+y))+f(xy)=f(2-y)+f(xy)=y+2-xy$
$=x+2-x-y+2y-xy=x+f(x+y)+y f(x)$.

(2) Zij $f(0)=0$. Beschouw $P(x,0)$. Je krijgt $f(x+f(x))=x+f(x)$. (a)

Beschouw $P(-1, 1)$. Er volgt $f(-1)+f(-1)=-1+f(-1)$, dus $f(-1)=-1$. Beschouw $P(1,-1)$. Er komt $f(1)+f(-1)=1-f(1)$, zodat $f(1)=1$.

Beschouw $P(x,1)$. Er staat $f(x+f(x+1))+f(x)=x+f(x+1)+f(x) \Leftrightarrow f(x+f(x+1))=x+f(x+1)$. (b)

Beschouw $P(1, f(x+1)+x)$. Er komt $f(1+f(f(x+1)+x+1))+f(f(x+1)+x)=1+f(f(x+1)+x+1)+f(x+1)+x$
$\Leftrightarrow f(1+f(x+1)+x+1)+f(x+1)+x=1+f(x+1)+x+1+f(x+1)+x$
( via (a),(b) en terug (a) toe te passen )
$\Leftrightarrow f(2+x+f(x+1))=2+x+f(x+1)$
$\Leftrightarrow f(1+x+f(x))=1+x+f(x)$ ($x+1$ vervangen door $x$)

Beschouw $P(x,-1)$. Je krijgt $f(x+f(x-1))+f(-x)=x+f(x-1)-f(x) \Leftrightarrow f(-x)=-f(x)$.

Beschouw $P(-y,y)$. Er staat $f(-y)+f(-y^2)=-y+y f(-y) \Leftrightarrow -f(y)+f(-y^2)=-y-
y f(y)$.

Beschouw $P(x,-x)$. Je hebt $f(x)+f(-x^2)=x-x f(x)$.

Optellen van de twee laatste resultaten geeft $-x-x f(x)+f(x)+f(-x^2)=x-x f(x)+f(-x^2)-f(x) \Leftrightarrow 2 f(x)=2 x \Leftrightarrow f(x)=x$. De functie voldoet ook, aangezien $x+x+y+xy=x+x+y+yx$.

De twee functies die voldoen zijn dus $f(x)=-x+2$ en $f(x)=x$. Q.E.D.