toen Russen nog iets gaven aan Duitsland

Tags:

Opgave - IMO 2009 dag 1 vraag 2

Zij $ ABC$ een driehoek en $ O$ het middelpunt van de omgeschreven cirkel.
De punten $ P$ en $ Q$ zijn inwendige punten van de zijden $ CA$ en $ AB$ respectivelijk.
Laat $ K,L$ en $ M$ de middens zijn van respectievelijk de zijden $ BP,CQ$ en $ PQ$ en zij $ \Gamma$ de cirkel door $ K,L$ en $ M$. Veronderstel dat de lijn $ PQ$ raakt aan de cirkel $ \Gamma$. Bewijs dat $ |OP| = |OQ|.$

Oplossing

Merk op dat $ML//AC$ en $KM//AB$ wegens middenparallellen. Dan is $\angle MKL=\angle PML =\angle QPA$ (eerste gelijkheid wegens rakende cirkel en de tweede volgt uit de evenwijdigheid van $ML$ en $AC$). Analoog vinden we $\angle MLK=\angle PQA$, dus $\triangle APQ \sim \triangle MKL$, waardoor $ML\cdot AP=AQ \cdot MK$, en dus $PC\cdot AP=AQ \cdot QB$ wegens middenparallel. Die laatste gelijkheid herkennen we als de macht van $P$ tegenover de omgeschreven cirkel van $\triangle ABC$ die gelijk is aan de macht van $Q$ t.o.v. diezelfde cirkel. m.a.w.: $OP^2-R^2=OQ^2-R^2$ waaruit het gevraagde volgt. QED