gelijk product en som

Opgave - APMO 2014 dag 1 vraag 1

Voor $m \in \mathbb N$ schrijven we $S(m)$ en $P(m)$ voor de som en product resp. van de cijfers van $m$.
TB: $ \forall n \in \mathbb N $, bestaat er $a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb N$ zodat $
S(a_1) < S(a_2) < \cdots < S(a_n) \text{ en } S(a_i) = P(a_{i+1}) \quad (i=1,2,\ldots,n). $ (waarbij $a_{n+1} = a_1$)