algebra 6

Opgave - IMOSL 2001 vraag 20

Bewijs dat voor alle positieve reële getallen $a,b,c$ geldt dat
$$\frac a{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac b{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac c{\sqrt{c^2+8ab}}\geq1.$$

Oplossing

De functie $f=x^{-1/2}$ is convex, dus zegt Jensen dat $\sum_{cyc} a\cdot f(a^2+8bc) \ge (a+b+c) f\left(\frac{a^3+b^3+c^3+24abc}{a+b+c}\right)$.

Daar $f$ dalend is en $a^3+b^3+c^3+24abc\le (a+b+c)^3$ is $\sum_{cyc} a\cdot f(a^2+8bc)\ge 1$.