grootste BEL onderscheiding binnen de meetkunde
Opgave - JEMC 2012 dag 1 vraag 1
Zij $ABC$ een driehoek waarbij Q een punt is die op de inwendige bissectrice van de hoek
\BAC ligt.
Cirkel $\omega_1$ is de omgeschreven cirkel van $\triangle BAQ$ en snijdt de rechte $AC$ in een punt $P$ verschillend van $A$ en $C$.
$\big ($ Cirkel $\omega_2$ is de omgeschreven cirkel van driehoek $CQP.$
De straal van $\omega_1$ is groter dan die van $\omega_2$. $\big)$
De cirkel met middelpunt $Q$ en straal $|QA|$ snijdt de cirkel $\omega_1$ in punten $A$ en $A_1$.
De cirkel met middelpunt $Q$ en straal $|QC|$ snijdt de cirkel $\omega_1$ in punten $C_1$ en $C_2$.
Bewijs dat $ \angle A_1BC_1 = \angle C_2PA.$
opmerking: hetgeen tussen haakjes dient enkel om te melden dat de snijpunten bestaan
- login om te reageren
Oplossing
$\widehat{BPQ}=\widehat{QAB}=\widehat{PAQ}=\widehat{PBQ}$ wegens omtrekshoeken en de bissectrice. Dus $\triangle PBQ$ is gelijkbenig, implicerend dat $|PQ|=|QB|$. Nu is wegens constructie ook $|QA|=|QA_1|$ en $|QC_1|=|QC_2|$, dus uit deze drie gelijkheden geldt er dat de bissectrice van $\widehat{AQA_1}$ (tevens de bissectrice van $\widehat{C_1QC_2}$ en $\widehat{PQB}$) de spiegelas is van de twee vierhoeken $QC_2PA$ en $QA_1BC_1$. Spiegeling behoudt de hoekgrootten, en dus ook de hoek gevormd tussen $\widehat{C_2PA}=\widehat{A_1BC_1}$