stelseltje

deel alle termen in de derde vergelijking door $xyz$ ($xyz$ kan onmogelijk nul zijn):
$x^2+y^2+z^2=\frac{5\sqrt{3}}{xyz}$
en deel alle termen in de tweede vergelijking door xyz:
$(xy)^2+(yz)^2+(xz)^2=\frac{6\sqrt{3}}{(xyz)}$

bereken nu $(x^2+y^2+z^2)^2=x^4+y^4+z^4+2(xy)^2+2(yz)^2+2(xz)^2$
invullen met gegevens: $(\frac{5\sqrt{3}}{xyz})^2=13+\frac{12\sqrt{3}}{(xyz)}$
als je stelt dat $\frac{1}{xyz}=t$, dan bekom je de kwadratische vergelijking $75t^2-12\sqrt{3}t-13=0$. oplossen geeft dat $t=\frac{1}{\sqrt{3}}$ of $t=\frac{-13\sqrt{3}}{75}$ maar dat laatste kun je vanwege de voorwaarde vergeten.
we concluderen $xyz=\sqrt{3}$

Echter, AM-GM zegt dat $\frac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{3}\geq \sqrt[3]{(xyz)^{4}}$ of $2 \ge \sqrt[3]{9}$ , contradictie.

Er bestaan dus geen oplossingen.