ra ra ra, welke ongelijkheid ben ik

Zij $a_{\sigma(1)},a_{\sigma(2)},\dots , a_{\sigma(n)}$ de extreme permutatie van de rij $a_1,a_2,\cdots, a_k$ zodat die in stijgende orde is, dus $a_{\sigma(1)}$<$a_{\sigma(2)}$<$\dots $<$a_{\sigma(n)}$

De rij $\frac{1}{1},\frac{1}{2^2},\dots , \frac{1}{n^2}$ is dalend, dus de rijen zijn tegengesteld gesorteerd. Orde-ongelijkheid geeft
$\sum_{k=1}^{n}{\frac{a_k}{k^2}}\ge \sum_{k=1}^{n}{\frac{a_{\sigma(k)}}{k^2}}$
Omdat onze rij $a_{\sigma(k)}$ stijgend is en iedere term verschillend, is
$\sum_{k=1}^{n}{\frac{a_{\sigma(k)}}{k^2}} \ge \sum_{k=1}^{n}{\frac{k}{k^2}}$
en we zijn klaar.