ONG 2

Herschrijf als $\sum \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum \frac{1}{a^2(ab+ac)}=\sum \frac{1}{a^2(\frac1b +\frac1c)}=\sum \frac{b^2c^2}{(\frac1b +\frac1c)}$

Nu is $\frac{b^2c^2}{(\frac1b +\frac1c)}+\frac{a^2c^2}{(\frac1a +\frac1c)}+\frac{a^2b^2}{(\frac1a +\frac1b)}\geq \frac{(bc+ac+ab)^2}{2(\frac1a +\frac1b +\frac1c)}$. Wegens Cauchy-Schwartz in Engelform

$=\frac{(\frac1a +\frac1b +\frac1c)^2}{2(\frac1a +\frac1b +\frac1c)}$

$=\frac{\frac1a +\frac1b +\frac1c}{2}$

$\geq \frac32$

Dit laatste wegens AM-GM:$\frac1a +\frac1b +\frac1c \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=3$.

$QED$