Home › Archief › Internationale Olympiades › IMO › 2012 › na 3 jaar pauze, terug een ongelijkheid

na 3 jaar pauze, terug een ongelijkheid

Tags:

Opgave - IMO 2012 dag 1 vraag 2

Zij $n \ge 3$ en $a_2,a_3, \cdots, a_n>0$ zodat $ \prod_{i=2}^{i=n} a_i =1.$
TB: $$\prod_{i=2}^{i=n} (1+a_i )^i > n^n.$$

Oplossing

Ingediend door JefL

$1+a_i=\frac{1}{i-1}+...+ \frac{1}{i-1}+a_i \ge i\sqrt[i]{\frac{a_i}{(i-1)^{i-1}}}$
wegens AM-GM dus:
$(1+a_i)^i\ge \frac{i^ia_i}{(i-1)^{i-1}}$
Dus alle termen vermenigvuldigt levert:
$LL\ge \frac{a_2a_3...a_nn^n}{1^1}=n^n$
Merk op dat de ongelijkheid strikt is; immers, gelijkheid zou optreden als er bij iedere term van het product gelijkheid zou optreden, en het is triviaal dat dan niet aan de voorwaarde is voldaan.
( anders is $\prod a_n <1$)