joepie, opnieuw IMO

We zien dat $f(1,y+1)=f(0,f(1,y))=f(1,y)+1$ en verder dat $f(1,0)=f(0,1)=2$. Hieruit volgt onmiddellijk dat $f(1,y)=y+2$ (rekenkundige rij).

Vervolgens zien we dat $f(2,y+1)=f(1,f(2,y))=f(2,y)+2$ en $f(2,0)=f(1,1)=3$. Hieruit volgt onmiddellijk dat $f(2,y)=2y+3$ (rekenkundige rij).

Ook geldt dat $f(3,y+1)=f(2,f(3,y))=2 f(3,y)+3$. Ook is $f(3,0)=f(2,1)=5$. We tonen aan dat $f(3,y)=2^{y+3}-3$ per inductie. Het geval $y=0$ klopt alleszins. Stel nu dat het voor $y$ klopt. Dan zal $f(3,y+1)=2 f(3,y)+3=2 (2^{3+y}-3)+3=2^{3+(y+1)}-3$, waarmee ook deze formule bewezen is.

Ten slotte geldt dat $f(4,y+1)=f(3,f(4,y))=2^{f(4,y)+3}-3$ en dat $f(4,0)=f(3,1)=2^4-3=2^{2^2}-3$. Laat $g(y)=f(4,y)+3$. Dan geldt dat $g(0)=2^{2^2}$ en dat $g(y+1)=f(4,y+1)+3=2^{f(4,y)+3}=2^{g(y)}$. Dus zal $g(y)=2^{2^{...^{2}}}$, met $y+3$ tweeën. Dus $f(4,1981)=g(1981)-3=2^{2^{...^2}}-3$, met $1984$ tweeën. Q.E.D.