functievgl. 1 van IMO 2011

$y=0$ geeft $f(x)\le f(f(x))$.
Vul eerst $(x,y)=(2f(a),-f(a))$ in en daarna $(x,y)=(a,f(2f(a))-a)$ in, tel deze ongelijkheden op en je bekomt $af(a)\le 0$. Dit toont aan dat $f(a)\ge 0$ als $a < 0$. Hierdoor geldt voor alle $a < 0$ dat $0\le f(a)^2\le f(a)f(f(a))\le 0$. Er is gelijkheid, dus $f(a)=0$.
Als $x < 0$ in $f(x)\le f(f(x))$, zien we $0\le f(0)$. Net als hierboven vinden we dan als we veronderstellen dat $f(0) \ge 0$ dat $f(0)^2\le f(0)f(f(0))\le 0$, en dus $f(0)=0$
QED.