algebra 2
Opgave - IMOSL 2002 vraag 16
Zij $a_1,a_2,\ldots$ een oneindige rij van reële getallen, waarvoor er een reëel getal $c$ bestaat met $0\leq a_i\leq c$ voor alle $i$, zodat
$$|a_i-a_j|\geq\frac1{i+j}\ \forall i,j,\ i\neq j.$$
Bewijs dat $c\geq1$.
- login om te reageren
Oplossing
Zij $\sigma$ de permutatie die $(a_1,a_2,...,a_n)$ dalend sorteert. Dan is $$c\ge a_{\sigma(n)}-a_{\sigma(1)}=\sum^{n}_{k=2} a_{\sigma(k)}-a_{\sigma(k-1)} \ge \sum^n_{k=2} \frac{1}{\sigma(k)+\sigma(k-1)}$$ Wegens AM-HM hebben we echter $$\left(\sum^n_{k=2} \frac{1}{\sigma(k)+\sigma(k-1)}\right) \cdot \left(2(1+\cdots+n) -\sigma(1) -\sigma(n)\right) \ge n^2,$$ dus minstens $$c\ge \frac{n^2}{n^2+n-1-2}=1-\frac{n-3}{n^2+n-3}.$$
De rij was oneindig lang, dus de laatste term nadert naar $0$, dus moet $c\ge1$.
Whii, mijn eerste shortlistvraag! :lol: