algebra 1

Stel $y= -f(x)$:
$$f(0)-2x = f(f(-f(x))-x)$$
Dus $f$ is surjectief.

We zijn dus verzekerd van het bestaan van een $\alpha$ zodat $f(\alpha) = 0$.

Stel nu $f(y)=x=\alpha$ en werk uit:
$$\alpha = - f(0)$$

Stel nu $x=\alpha$ en $f(y)=q$:
$$q = 2\alpha + f(q-\alpha) = -2f(0) + f(q+f(0))$$

Subtitueer nu $\chi = q+f(0)$, we zien duidelijk dat $\chi$ elke reële waarde kan aannemen:

$$f(\chi) = \chi + f(0)$$

Controleren levert dat functies van die vorm een geldige oplossing zijn, en bijgevolg zijn het de enige...