2 identieke namen in 1 klas?

Opgave - JWO 2011 dag 1 vraag 2

In een klas zitten $18$ leerlingen. Aan elke leerling werd 2 vragen gesteld:
hoeveel andere leerlingen dezelfde voornaam heeft
en hoeveel dezelfde achternaam heeft.
De antwoorden $0,1,2,3,4,5,6,7$ kwamen allemaal minimum $1$ keer voor.
Bewijs dat er $2$ leerlingen dezelfde voor- en achternaam heeft.
****
voetnoot: een prof vroeg zich nog af of het niet strenger moest worden geformuleerd voor de exacte bovengrens, deze is $23$ en maakt de opgave minder triviaal.

Oplossing

Ieder antwoord moet $+1$ krijgen om de spreker niet te negeren -> $1,2,3,4,5,6,7,8$
$1+2+3+4+5+6+7+8=36$
$36/2=18$
-> Er zijn $8$ groepjes met een voor- of achternaam gemeenschappelijk tussen alle leden ervan en elk van deze groepjes heeft een ander aantal leden, waarbij de aantallen $1$ tot $8$ allen één keer voorkomen.

$1,2,3,4,5,6,7,8$ moeten verdeeld worden in twee groepen die elk een som van $18$ hebben. (voornaam vs achternaam, dit is symmetrisch)

Vb (met zoveel mogelijk groepen in het linkerlid, want $2*8<18$ en dus is $2$ in $1$ id te weinig):
$1+2+3+5+7 = 4+6+8$

Er is hier een groep van $8$ mensen met dezelfde achternaam. Er zijn minder dan $8$ groepen van mensen met dezelfde voornaam, dus is zijn er zeker twee met dezelfde voor- en achternaam.

QED :)