Pita Goras

Opgave - VWO 2010 dag 1 vraag 4

Bij de boekhouding van Pita Goras, ziet de baas dat de som van iedere 5 opeenvolgende getallen positief is.
De boekhouder ziet echter dat de som van elke opeenvolgende 7 termen negatief is.
Hoeveel getallen kunnen er maximaal in de boekhouding voorkomen?

Oplossing

Strikt genomen is er geen maximum. Als alle getallen 0 zijn zijn de sommen steeds 0, en 0 is positief én negatief. Maar laat ik dus aannemen dat er 'strikt positief' moet staan...

Noteer $a_n$ voor het n-de getal en $S_x^y$ voor de som van getallen $x$ t.e.m $y$.
6 getallen is duidelijk mogelijk, als bv. alle getallen strikt positief zijn.

Als er 10 getallen zijn, is $S_1^7< 0$ terwijl $S_3^7> 0$, dus is $S_1^2< 0$
Zo ook is $S_2^8< 0$ terwijl $S_4^8> 0$, dus is $S_2^3< 0$
En $S_3^4< 0$ en $S_4^5< 0$
Dan ziet de rij er in het begin zo uit: $+,-,+,-,+$ omdat de som van twee opeenvolgende getallen negatief is (dus elke $-$ is in absolute waarde groter dan de omstaande $+$en) en de som van de eerste 5 positief moet zijn.

Om analoge reden is $S_6^7< 0$, $S_7^8< 0$, $S_8^9< 0$ en $S_9^{10}< 0$ en zijn de volgende 5 getallen ook $+,-,+,-,+$
De eerste 10 getallen zijn dus: $+,-,+,-,+,+,-,+,-,+$
Als er 11 getallen zouden zijn, dan wordt het $+,-,+,-,+,+,-,+,-,+,\pm$
Wat het laatste getal ook is, + of -, $S_7^{11}> 0$ zodat ook $S_5^{11}> 0$, (omdat $a_5>0$ en $a_6> 0$) wat niet mag.

Het maximum is hoogstens 10.
Een voorbeeld volstaat nu om aan te tonen dat het mogelijk is voor 10 of minder:
$12 ,-20 ,16 ,-20 ,16 ,12 ,-20 ,13 ,-18 ,14$
(schrap getallen aan het begin of einde van de rij en de eigenschap blijft behouden)