toen de IMO-ongelijkheden nog simpel waren
Opgave - IMO 1961 dag 1 vraag 2
Van een driehoek zijn de lengten van de zijden $a, b$ en $c$ en is de oppervlakte $O. $
Bewijs dat $a^2 + b^2 + c^2\ge 4O \sqrt{3} $
Wanneer treedt er gelijkheid op?
***
opm.: strengere ongelijkheid is de Hadwiger-Finsler-ongelijkheid, die bewijst dat
$a^2 + b^2 + c^2 \ge 4O \sqrt{3} + (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2.$
- login om te reageren
Oplossing
Stel even $\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma=p$. We hebben $O=2pR^2$ (A) enerzijds en $O=\frac{abc}{4R}$ (B) anderzijds, zodat (B)²*(A) geeft $O=\frac12\sqrt[3]{(abc)^2p}$.
Er geldt dat $\sqrt[3]p\leq\frac13(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)\leq\frac{\sqrt3}2$ met AM-GM en dan Jensen ($\sin(x)$ is concaaf over $[0,\pi]$), waarbij gelijkheid telkens alleen kan als $\alpha=\beta=\gamma$.
Nu hebben we $a^2+b^2+c^2\geq3\sqrt[3]{(abc)^2}\geq2\sqrt[3]{(abc)^2p}\sqrt3=4O\sqrt3$ waar de eerste ongelijkheid AM-GM is en de tweede het vorige met $p$ gebruikt.
Dus gelijkheid als en slechts als de driehoek gelijkzijdig is.