veeltermvergelijking
Opgave - BxMO 2010 dag 1 vraag 2
Vind alle polynomen $P(x)$ met reële coëfficiënten die voldoen aan
$P(a + b - 2c) + P(b + c - 2a) + P(c + a - 2b) = 3P(a - b) + 3P(b - c) + 3P(c - a)$
$\forall a, b, c\in\mathbb{R}$.
- login om te reageren
Oplossing
Als we $a=b=c=0$ kiezen, vinden we dat $P(0)=0$. Dus heeft P geen constante term.
Vullen we $a=b$ in, zien we dat:
$P(2a-2c)+P(c-a)+P(c-a)=3P(0)+3P(a-c)+3P(c-a)$
dus $P(2a-2c)=3P(a-c)+P(-(a-c))$
Stellen we dan $c=a-x$ is de vorige uitdrukking gelijkwaardig met
$P(2x)=3P(x)+P(-x)$
Zetten we nu $P(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+ \cdots +a_1 x$
Herschrijven van de vorige uitdrukking:
$2^n a_nx^n+2^{n-1} a_{n-1} x^{n-1}+\cdots +2 a_1 x$
$=3a_n x^n+3a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+3 a_1x+a_n (-1)^n*x^n+a_{n-1} (-1)^{n-1}x^{n-1}+ \cdots+ a_1 (-1)x$
Gelijkstellen van de coëfficienten van de hoogste term:
$2^n a_n=3a_n+(-1)^n a_n$
We onderscheiden nu twee gevallen: Als $n$ even is, is $n=2$ , als $n$ oneven is, dan is $n=1$.
( dit omdat we kunnen delen door $a_n$ en het rechterlid onafhankelijk geworden is van $n$, maar het linkerlid wel).
Bijgevolg voldoen geen veeltermen met een graad hoger dan $3.$
Het is simpel te controleren dat $P(x)=ax^2+bx$ $\forall a,b \in \mathbb{R}$ voldoet aan de polynoomvgl. en daarmee alle oplossingen weergeeft.