kwadratische functie
Opgave - BxMO 2009 dag 1 vraag 1
Vind alle functies $f\mathbb{N}_{o}\rightarrow\mathbb{N}_{o}$ die voldoet aan:
- $\bullet\ f(n)$ is altijd een kwadraat $\forall n\in\mathbb{N}_{o}$
$\bullet\ f(m+n)=f(m)+f(n)+2mn$ $\forall m,n\in\mathbb{Z}_{>0}$
- login om te reageren
Oplossing
Gegeven is dat $f(1)=a^2$ voor $a$ een natuurlijk getal. We berekenen nog wat waarden:
$f(2)=2a^2+2$
$f(3)=3a^2+6$
$f(4)=4a^2+12$
We vermoeden dus dat $f(n)=na^2+n(n-1)$ en een simpel inductief argument toont ons dat dat inderdaad ook zo is.
Nu weten we dat $n(a^2+n-1)=m^2$. Aangezien $a^2$ constant blijft onderscheiden we drie gevallen:
$n>a^2+n-1\Leftrightarrow a^2<1$ Dus $a=0$ en $f(n)=n(n-1)$ maar deze voldoet duidelijk niet aan alle voorwaarden.
$n=a^2+n-1$ dus $a=1$ wat $f(n)=n^2$ oplevert en die voldoet wel degelijk.
$n < a^2+n-1$ en omdat het voor iedere $n$ moet gelden is $a^2+n-1$ $n$ keer een kwadraat. Dus is $n\mid a^2-1$ voor alle $n$, en dit geldt dus alleen maar als $a=1$. Maar dat is het vorig geval, en we weten al dat het voldoet.
alternatief:
Stel $q(x)=f(x)-x^2$, dat geeft (we kozen $n=1$):
$q(m+1)=f(m+1)-(m+1)^2=f(m)-m^2+f(1)-1=q(m)+q(1)$.
Een eenvoudige inductie zegt ons dat $q(x)=xq(1)$ voor $x>1$.
Dus is $f(x)=x^2+xq(1)$ waarbij $q(1)=f(1)-1 \ge 0$.
Indien $q(1)>0$, hebben we dat $f(q(1))=2q(1)^2$ wat geen volkomen kwadraat is.
Dit betekent dat $q(1)=0$ en $f(x)=x^2$.