kwadraten vinden

Opgave - JWO 2002 dag 1 vraag 2

Bewijs dat er geen enkel getal bestaande uit meerdere gelijke cijfers na elkaar een kwadraat is.

Oplossing

Elk kwadraat kan je ook schrijven als
0+1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+ 21
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121
Vermits het laatste cijfer altijd de som is van de laatste cijfers van de optelling en je na 19 als laatste cijfer 0 uit komt herhaalt het laatste cijfer zich altijd: je kan dus als laatste cijfer alleen maar een 1,4,5,6 of 9 hebben.
(1+3)+(5+7)+(9+11)+(13+15)+17+...=(1*4)+(3*4)+(5*4)+(7*4)+17...
Je kan de optelling ook zo schrijven, zo zie je dat het kwadraat altijd n*4
of een n*4+1 is (want het eerste cijfer na een groepje is altijd x*4+1)(waarbij n en x natuurlijke getallen zijn).
Om te controleren of het laatste cijfer een veelvoud is van 4 neem je de 2 laatste cijfers.
11,55,66,99 zijn geen veelvouden van 4 en kunnen niet gelijk zijn n*4+1.
Nu moeten we alleen nog controleren dat er geen kwadraat is dat bestaat uit allemaal vieren.
Nu weten we dat we alles kunnen schrijven als de som van veelvouden van 4.
(1*4)+(3*4)+(5*4)+(7*4)+(9*4)+(11*4)+...
Als het kwadraat uit een even aantal groepjes zou bestaan zou je het kunnen schrijven als (n*4)*4 (waarbij n een natuurlijk getal is).
Anders kan je het schrijven als (n*4+1)*4.
als je een getal dat bestaat uit allemaal vieren deelt door 4 kom je een getal uit met allemaal éénen.
Zoals we al gecontroleerd hebben kan een getal uit alleen maar éénen niet gedeeld worden door (n*4+1) of (n*4).
*****
alternatieve manier van noteren:
Er geldt dat $x^2 \equiv 0,1,4,5,6,9 \pmod{10}$ voor ieder natuurlijk getal $x.$
Dit betekent dat een kwadraat niet kan eindigen op $2,3,7$ of $8.$
Met modulorekenen vinden we ook dat $x^2\equiv 0,1 \pmod{4}$
en dus kan een kwadraat niet eindigen op $11,55,66$ of $99.$
De enige wijze die overschiet is $444\cdots4$ wanneer een getal bestaand uit $x$ 4'en een kwadraat is, iseen vierde ervan dat ook en dus het getal met $x$ 1'en ook een kwadraat. Dit klopt echter niet werd al getoond met de modulorest bij deling door $4$
We besluiten dus dat geen enkel zo'n getal voldoet aan die eigenschap.