functievergelijking

Zij $x=y=0$ dan $f(0)=0$ (1)

Zij $x \neq 0$. $x$ kan geschreven worden als $x=a^2-b^2$ met $a$ en $b$ reëel.
Dan geldt:

$f(-x)=f(-(a^2-b^2))=f(b^2-a^2)=bf(b)-af(a)=-(af(a)-bf(b))$
$=-f(a^2-b^2)=-f(x)$ dus $f$ is oneven.
Alternatief hiervoor: $(x,y)$ en $(x,-y)$ in de oorspronkelijke vergelijking invullen, geeft $-yf(y)= yf(-y)$ en dus $f(y)=-f(-y)$ (als $y \not=0$ )

$y=0$ invullen, geeft $f(x^2)=xf(x)$ en dus is de vgl. equivalent met $f(x^2-y^2)=f(x^2)-f(y^2)$

Het is nu voldoende $f$ te bepalen over de positieve reele waarden.

Merk op dat $a=x^2, b=y^2$ invullen, geeft dat $f(a-b)=f(a)-f(b)$ of $f(t)+f(s)=f(t+s)$ .
Dit is de Cauchy-functievergelijking (met enkele voorwaarden extra ivm het teken).

$(x+1,x)$ invullen in de oorspronkelijke functie met $x>0$ geeft $f(x)+f(x+1)= f(2x+1)= f(x+1)+x[ f(x+1)-f(x) ] = f(x+1)+xf(1)$ en dus geldt $f(x)=xf(1)$ voor alle $x \in R^{+}.$

Omdat de functie oneven is, weten we dat $f(x)$ vd vorm $ax$ is en het is triviaal te checken dat deze voldoet.