veelterm
Opgave - USAMO 1976 vraag 5
De veeltermen $a(x),b(x),c(x),d(x)$ voldoen aan $a(x^5)+xb(x^5)+x^2c(x^5)=(1+x+x^2+x^3+x^4)d(x)$. Toon aan dat $a(1)=0$.
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 0 gasten online.
Oplossing
Zij $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ en $\omega_4$ de vier eenheidswortels uit 1 behalve 1 zelf. Dan is $a(1) + \omega_i b(1) + \omega_i^2 c(1) = 0$ voor $i = 1, 2, 3, 4$. Maar dan heeft de kwadratische vergelijking $c(1) X^2 + b(1) X + a(1) = 0$ vier verschillende complexe oplossingen, en dat kan enkel als deze identiek nul is. We vinden dat $c(1) = b(1) = a(1) = 0$.