gelijkzijdig
Opgave - BrMO 2 1997 vraag 2
In de scherphoekige driehoek $ABC$ is $CF$ een hoogtelijn, met $F$ op $AB$ en $BM$ een zwaartelijn met $M$ op $CA$. Als gegeven is dat $BM=CF$ en $\angle MBC=\angle FCA$, bewijs dan dat de driehoek $ABC$ gelijkzijdig is.
- login om te reageren
Oplossing
Zij $S$ het snijpunt van $BM$ met de omgeschreven cirkel van $ABC$. Dan is $\angle CSB=\angle CAB=90-\angle FCA=90-\angle MBC=90-\angle SBC$. Bijgevolg is $\angle SCB=90$ en dus ligt het middelpunt $I$ van de cirkel op $SB$. Omdat $ABC$ scherphoekig is ligt $I$ bovendien strikt tussen $M$ en $B$. $MB$ valt dus samen met $MI$ en is bijgevolg de middelloodlijn van $AC$. Hieruit volgt alvast dat $|AB|=|BC|$ en $\angle MBC=\angle MBA$.
Nu zijn $\triangle ACF \cong \triangle ABM$ wegens HZH en dus geldt ook $|AC|=|AB|$, waarmee de vraag bewezen is.